Barycentre

Définition

Définition :
Soient $n$ points $A_1,\ldots,A_n$ et un système de poids $\omega_1,\ldots,\omega_n$ de poids total $\omega$
On appelle barycentre de $(A_1,\ldots,A_n)$ avec les poids $(\omega_1:\cdots:\omega_n)$ l'unique point $G$ tel que $$\vec G=\sum\bar\omega_i\vec A_i=\frac1\omega\sum \omega_i\vec A_i$$ on note ${{\sum\bar\omega_iA_i}}:={{G}}$ ce barycentre
(Système de poids, Poids total, //Combinaison linéaire)

Propriétés

Indépendance de l'origine

Propriété :
On a les équivalences : $$\begin{align}& {{G=\sum\bar\omega_iA_i}}\\ \iff&{{\forall P,\omega\overrightarrow{PG}=\sum\omega_i\overrightarrow{PA_i} }}\\ \iff&{{\exists P,\omega\overrightarrow{PG}=\sum\omega_i\overrightarrow{PA_i} }}\end{align}$$
La position du barycentre est donc indépendante de la position de $\Omega(0,0)$ par rapport aux points $A_1,\ldots,A_n$

Distances dans un barycentre

$${{C=(1-\lambda)A+\lambda B}}\iff {{AC}}={{\lvert \lambda\rvert AB}}\quad\text{ et }\quad {{BC}}={{\lvert 1-\lambda\rvert AB}}$$
(Distance)

Caractérisation

Remarque :
Soient $n$ points $A_1,\ldots,A_n$ et un système de poids $\omega_1,\ldots,\omega_n$ de poids total $\omega$
$G$ est le barycentre de $(A_1,\ldots,A_n)$ avec les poids $(\omega_1:\cdots:\omega_n)$ si et seulement si $$\sum\bar\omega_i\overrightarrow{GA_i}=0$$

Notation

L'expression $\sum\omega_iA_i$ n'a de sens que dans les deux cas particuliers :

c'est un point (le barycentre) quand $\sum\omega_i=1$
c'est un vecteur quand $\sum\omega_i=0$

(Système de poids, Point, Vecteur)

Exercices

Soient un triangle $\triangle ABC$, $D$ est un point sur le côté $[BA]$ tel que \(BD:DA=

Schéma
2\), $E$ est un point du côté $[CB]$ tel que $CE:EB=1:4$
Les segments $DC$ et $AE$ se coupent en $F$
Déterminer $CF:FD$
(en utilisant les barycentres)
1:

Exprimer les poids des différents points pour $E$ et $D$
On a : $$E=\frac{B+4C}{5}\quad\text{ et }\quad D=\frac{A+2B}3$$

Exprimer les différents référentiels barycentriques à deux points contenant $F$
$F$ est sur $(AE)$ : il est donc de la forme $(1-x)A+xE$
$F$ est sur $(CD)$ : de la forme $(1-y)C+yD$

Exprimer ces équations en fonction de $A$, $B$ et $C$ $\to$ résolution du système
$$\begin{align} F:\begin{cases}(1-x)A+\frac x5B+\frac{4x}5C\\ \frac y3A+\frac{2y}{3}B+(1-y)C\end{cases}&\iff\begin{cases}1-x=\frac y3\\ \frac x5=\frac{2y}3\end{cases}\\ &\iff\begin{cases}3x+y=3&&(1)\\ 3x-10y=0&&(2)\end{cases}\end{align}$$
$(1)-(2):11y=3\implies y=\frac3{11}$
$\implies$ $(2)$ : $x=\frac{10}{11}$

En déduire l'expression de $F$ en fonction de $C$ et $D$
On a donc $$\begin{align} F&=\left(1-\frac3{11}\right) C+\frac3{11}D\tag{*}\\ &=\frac8{11} C+\frac 3{11}D\end{align}$$
$(^*)$ : car la somme des coordonnées dans un référentiel barycentrique est $1$

En déduire $CF:FD$

On a donc : $$\frac{CF}{FD}=\frac38$$

Soit un triangle $\triangle ABC$, $E$ le milieu de $[AC]$, $O$ un point de $[BE]$.
La droite $(AO)$ rencontre $[BC]$ en $D$. La droite $(CO)$ rencontre $[BA]$ en $F$.
Si $CO=15$, $OF=5$ et $AO=12$, trouvez la mesure de $OD$

schéma

Définir le repère et y exprimer les points évidents
On prend $(A,B,C)$ comme repère. $$\begin{align} E&=\frac A2+\frac B2\\ F&=(1-x)A+xB&&(\exists x)\\ O&=\frac C4+\frac{3F}4\\ &=\frac{3(1-x)}4A+\frac{3x}4B+\frac C4\end{align}$$

Trouver une autre équation pour $C$
$O\in(BE)$ donc $$\begin{align} O&=(1-y)B+yE&&(\exists y)\\ &=\frac y2A+(1-y)+\frac y2C\end{align}$$

Résoudre le système
$$\begin{align}\begin{cases}\frac{3(1-x)}4=\frac y2&&(1)\\ \frac{3x}4=1-y&&(2)\\ \frac14=\frac y2&&(3)\end{cases}\end{align}$$
$(1)+(2)+(3):\;^"1=1^"$
$(3)\implies y=\frac12$, $(2)\implies x=\frac23$

En déduire les coordonnées de $O$
On a donc : $$O=\frac A4+\frac B2+\frac C4$$

Exprimer $D$ en fonction de $O$
$D\in(AO)$ donc $$\begin{align} D&=(1-t)A+tO&&(\exists t)\\ &=\left((1-t)+\frac t4\right) A+\frac t2B+\frac t4C\\ &=\left(1-\frac{3t}4\right) A+\frac t2B+\frac t4C\end{align}$$

Chercher une deuxième équation pour $D$
$D\in(BC)$ donc $$\begin{align} D=(1-u)B+uC&&(\exists u)\end{align}$$

En déduire les coordonnées de $D$
Le coefficient en $A$ est nul dans la deuxième équation, donc $1-\frac{3t}4=0$ et $t=\frac34$
Ainsi $$D=-\frac13A+\frac43O$$

En déduire $OD$ via $OD:AO$

Et donc : $$OD=\frac{AO}3=4$$

Math'φsics